%% This LaTeX-file was created by <stovicek> Sat Oct 23 20:59:00 1999
%% LyX 1.0 (C) 1995-1999 by Matthias Ettrich and the LyX Team

%% Do not edit this file unless you know what you are doing.
\documentclass[12pt,czech]{article}
%\usepackage[latin2]{inputenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{geometry}
%\geometry{verbose,a4paper,tmargin=2cm,bmargin=3cm,lmargin=3cm}
\usepackage{babel}

\setlength{\textheight}{22.5cm}
\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\topmargin}{-1.cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.5cm}
%\setlength{\marginparwidth}{3cm}

\makeatletter


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
\providecommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\@}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{xypic}

\hyphenation{pou-ze}

\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}

\newcommand{\XX}{\ensuremath{\mathfrak{X}}}
\newcommand{\OO}{\ensuremath{\mathcal{O}}}
\renewcommand{\AA}{\ensuremath{\mathcal{A}}}
\newcommand{\UU}{\ensuremath{\mathcal{U}}}
\newcommand{\HH}{\ensuremath{\mathcal{H}}}
\newcommand{\II}{\ensuremath{\mathcal{I}}}

\renewcommand{\k}{\ensuremath{\mathbf{k}}}

\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathfrak{g}}}
\newcommand{\su}{\ensuremath{\mathfrak{su}}}
\renewcommand{\sl}{\ensuremath{\mathfrak{sl}}}

\newcommand{\vr}{\ensuremath{\varrho}}
\newcommand{\ve}{\ensuremath{\varepsilon}}
\newcommand{\im}{\ensuremath{\imath}}

\newcommand{\Cinf}{\ensuremath{C^{\infty}}}

\newcommand{\txtA}{\ensuremath{\mbox{dal\v{s}\'{\i} 2 vztahy cyklicky}}}

\newcommand{\Tr}{\ensuremath{\operatorname{Tr}}}
\newcommand{\Span}{\ensuremath{\operatorname{span}}}
\newcommand{\id}{\ensuremath{\operatorname{id}}}
\newcommand{\Fun}{\ensuremath{\operatorname{Fun}}}
\makeatother

\begin{document}


\title{Kvantov\'e grupy a konstrukce reprezentac\'{\i} \\
(semin\'a\v{r})}


\author{Pavel \v{S}\v{t}ov\'{\i}\v{c}ek}


\date{MMF UK, Troja, 12. 10. 1999}

\maketitle
\tableofcontents{}


\section{Geometrick\'e kvantov\'an\'{\i} }

Vych\'az\'{\i}me ze symplektick\'e variety \( (M,\, \omega ) \), kde \( \omega  \)
je uzav\v{r}en\'a nedegenerovan\'a 2-forma. To jest pro ka\v{z}d\'y bod \( m\in M \) je
\[
\omega _{m}:\, T_{m}\, M\times T_{m}\, M\rightarrow \R ,\]
antisymetrick\'e biline\'arn\'{\i} zobrazen\'{\i}, \( d\omega =0 \), a zobrazen\'{\i}, kter\'e p\v{r}i\v{r}azuje
te\v{c}n\'ym vektor\r{u}m \( X\in T_{m}\, M \) funkcion\'aly z du\'aln\'{\i}ho prostoru \( \varphi _{X}\in T_{m}^{\ast }\, M \)
podle p\v{r}edpisu 
\[
\varphi _{X}(Y)=\omega (X,\, Y),\qquad \forall Y\in T_{m}\, M\, ,\]
 je prost\'e a tedy vz\'ajemn\v{e} jednozna\v{c}n\'e. 

Vn\v{e}j\v{s}\'{\i} derivace libovoln\'e funkce \( f\in \Cinf (M) \) je 1-forma \( df \)
(p\v{r}ipome\v{n}me, \v{z}e funkcion\'al \( df_{m}\in T_{m}\, M \) je ur\v{c}en vztahem \( df_{m}(X)=X\cdot f(m) \),
kde symbol na prav\'e stran\v{e} m\'a v\'yznam derivace funkce ve sm\v{e}ru te\v{c}n\'eho vektoru).V
ka\v{z}d\'em bod\v{e} \( m\in M \) existuje pr\'av\v{e} jeden te\v{c}n\'y vektor \( \gamma _{f}(m) \),
kter\'y spl\v{n}uje 
\[
df_{m}(\cdot )=\omega _{m}(\gamma _{f}(m),\, \cdot \, )\, .\]
T\'{\i}m je jednozna\v{c}n\v{e} ur\v{c}eno zobrazen\'{\i} 
\begin{equation}
\label{gamma}
\gamma :\Cinf (M)\ni f\mapsto \gamma _{f}\in \XX (M)\, .
\end{equation}
 Zde symbol \( \XX (M) \) zna\v{c}\'{\i} prostor hladk\'ych vektorov\'ych pol\'{\i} na \( M \). 

Symplektick\'a struktura na \( M \) implikuje poissonovskou strukturu. \( (M,\, \{\, ,\, \}) \)
je Poissonova varieta s Poissonovou z\'avorkou (prvn\'{\i} rovnost m\r{u}\v{z}eme pova\v{z}ovat
za definici, dal\v{s}\'{\i} dv\v{e} se snadno odvod\'{\i}) 
\begin{equation}
\label{pz}
\{f,\, g\}=\gamma _{f}\cdot g=-\gamma _{g}\cdot f=-\omega (\gamma _{f},\, \gamma _{g})\, .
\end{equation}


P\v{r}ipome\v{n}me, \v{z}e vektorov\'a pole tvo\v{r}\'{\i} nekone\v{c}norozm\v{e}rnou Lieovou algebrou \( (\XX ,\, [\, ,\, ]) \),
kdy\v{z} Lieova z\'avorka je jednodu\v{s}e zavedena jako komut\'ator. P\v{r}itom na vektorov\'a
pole pohl\'{\i}\v{z}\'{\i}me jako na diferenci\'aln\'{\i} oper\'atory 1. \v{r}\'adu a tedy jako na zobrazen\'{\i}
prostoru hladk\'ych funkc\'{\i} do sebe. Komut\'ator dvou vektorov\'ych pol\'{\i} je op\v{e}t vektorov\'e
pole. D\'ale prostor hladk\'ych funkc\'{\i} s Poissonovou z\'avorkou se st\'av\'a rovn\v{e}\v{z} nekone\v{c}norozm\v{e}rnou
Lieovou algebrou \( (\Cinf (M),\, \{\, ,\, \}) \). Zobrazen\'{\i} (\ref{gamma})
\[
\gamma :(\Cinf (M),\, \{\, ,\, \})\rightarrow (\XX (M),\, [\, ,\, ])\]
je homomorfismem Lieov\'ych algeber, to jest plat\'{\i} 
\begin{equation}
\label{gcomm}
\gamma _{\{f,\, g\}}=[\gamma _{f},\, \gamma _{g}]\, .
\end{equation}
 

Symplektick\'a forma je podle p\v{r}edpokladu uzav\v{r}en\'a, \( d\omega =0 \), a lok\'aln\v{e}
ji lze v\v{z}dy vyj\'ad\v{r}it ve tvaru \( \omega =d\nu  \) pro vhodnou 1-formu \( \nu  \)
(na topologicky trivi\'aln\'{\i}ch variet\'ach jako je euklidovsk\'y prostor \( \nu  \)
existuje dokonce glob\'aln\v{e}). P\v{r}ipome\v{n}me vztah pro vn\v{e}j\v{s}\'{\i} derivaci 1-formy: 
\begin{equation}
\label{dnu}
\forall \xi ,\, \eta \in \XX (M),\quad d\nu (\xi ,\, \eta )=\xi \cdot \nu (\eta )-\eta \cdot \nu (\xi )-\nu ([\xi ,\, \eta ])\, .
\end{equation}


Z\'akladem geometrick\'eho kvantov\'an\'{\i} je zobrazen\'{\i} \( \vr  \), kter\'e ka\v{z}d\'e funkci
\( f\in \Cinf (M) \) p\v{r}i\v{r}ad\'{\i} diferenci\'aln\'{\i} oper\'ator (zprvu definovan\'y na prostoru
hladk\'ych funkc\'{\i}) podle p\v{r}edpisu (\( \im =\sqrt{{-1}} \)) 
\begin{equation}
\label{gq}
\vr (f)=\im \gamma _{f}+\nu (\gamma _{f})+f\, .
\end{equation}
Pov\v{s}imn\v{e}me si, \v{z}e \( \nu (\gamma _{f}) \) je 1-forma aplikovan\'a na vektorov\'e
pole a tedy funkce. 
Ve vztahu (\ref{gq}) pou\v{z}\'{\i}vame stejn\'y symbol pro oper\'ator n\'asoben\'{\i} 
ur\v{c}itou funkc\'{\i} jako pro samotnou funkci 
(v tomto p\v{r}\'{\i}pad\v{e} \( \nu (\gamma _{f}) \) a \( \ f \)). 
S vyu\v{z}it\'{\i}m identit (\ref{pz}),
(\ref{gcomm}), (\ref{dnu}) nen\'{\i} t\v{e}\v{z}k\'e odvodit komuta\v{c}n\'{\i} vztah, kter\'y m\'a z\'asadn\'{\i}
v\'yznam, a sice 
\begin{equation}
\label{comm}
[\vr (f),\, \vr (g)]=\im \, \vr (\{f,\, g\})\, .
\end{equation}
Skute\v{c}n\v{e}, 
\begin{eqnarray*}
[\vr (f),\, \vr (g)] & = & -[\gamma _{f},\, \gamma _{g}]+\im (\gamma _{f}\cdot \nu (\gamma _{g})-\gamma _{g}\cdot \nu (\gamma _{f})+\gamma _{f}\cdot g-\gamma _{g}\cdot f)\\
 & = & -\gamma _{\{f,\, g\}}+\im (d\nu (\gamma _{f},\, \gamma _{g})+\nu ([\gamma _{f},\, \gamma _{g}])+2\{f,\, g\})\\
 & = & \im (\im \gamma _{\{f,\, g\}}-\{f,\, g\}+\nu (\gamma _{\{f,\, g\}})+2\{f,\, g\})\\
 & = & \im \, \vr (\{f,\, g\})\, .
\end{eqnarray*}


Na prvn\'{\i} pohled by se tento v\'ysledek mohl zd\'at ide\'aln\'{\i}. Ka\v{z}d\'e funkci \( f \)
na \( M \) byl p\v{r}i\v{r}azen oper\'ator \( \vr (f) \), p\v{r}i\v{c}em\v{z} komut\'ator oper\'ator\r{u}
je ve shod\v{e} s Poissonovou z\'avorkou. Na n\'asleduj\'{\i}c\'{\i}m p\v{r}\'{\i}kladu ale p\v{r}edvedeme,
\v{z}e pro n\v{e}kter\'e funkce, kter\'e jsou zaj\'{\i}mav\'e 
z hlediska kvantov\'e mechaniky, p\r{u}sob\'{\i} oper\'atory
(\ref{gq}) v ``p\v{r}\'{\i}li\v{s} velk\'em prostoru'', kter\'y je tud\'{\i}\v{z} nutno d\'ale redukovat.
Obecn\'a metoda, jak \v{r}e\v{s}it tento probl\'em, je zalo\v{z}ena na pojmu \emph{polarizace},
kter\'ym se ale v tomto kr\'atk\'em textu nebudeme bl\'{\i}\v{z}e zab\'yvat a spokoj\'{\i}me se m\'{\i}sto
toho s jednoduch\'ym p\v{r}\'{\i}kladem. 


\subsubsection*{P\v{r}\'{\i}klad: \protect\( M=\R ^{2}\protect \) }

Bu\v{d} \( M=\R ^{2} \) se sou\v{r}adnicov\'ymi funkcemi \( p,\, q \) a \( \omega =dp\wedge dq \).
Zvolme \( \nu =p\, dq \). Vektorov\'e pole \( \gamma _{f} \) je ur\v{c}eno vztahy 
\begin{eqnarray*}
&& \omega (\gamma _{f},\, \cdot \, ) = 
(\gamma _{f}\cdot p)\, dq-(\gamma _{f}\cdot q)\, dp\\
&& = df = \frac{\partial f}{\partial p}\, dp+
\frac{\partial f}{\partial q}\, dq\, ,
\end{eqnarray*}
a tedy 
\[
\gamma _{f}=\frac{\partial f}{\partial q}\, \frac{\partial }{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\, \frac{\partial }{\partial q}\, .\]
Poissonova z\'avorka je d\'ana p\v{r}edpisem (\ref{pz}), 
\[
\{f,\, g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\, \frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\, \frac{\partial g}{\partial q}\, .\]
Geometrick\'e kvantov\'an\'{\i} (\ref{gq}) vede na oper\'atory 
\[
\vr (f)=\im \, 
\left(\frac{\partial f}{\partial q}\, \frac{\partial }{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\, \frac{\partial }{\partial q}\right)-
p\, \frac{\partial f}{\partial p}+f\, .
\]
Specieln\v{e}, 
\[
\vr (q)=\im \, \frac{\partial }{\partial p}+q,\quad \vr (p)=-\im \, \frac{\partial }{\partial q}\, .\]
Jak bylo p\v{r}edesl\'ano, prostor, ve kter\'em p\r{u}sob\'{\i} oper\'atory \( \vr (q) \) a \( \vr (p) \),
lze redukovat. V tomto jednoduch\'em p\v{r}\'{\i}pad\v{e} se \v{r}e\v{s}en\'{\i} nab\'{\i}z\'{\i} samo. Oba oper\'atory
komutuj\'{\i} s derivac\'{\i} \( \partial /\partial p \) a tedy podprostor funkc\'{\i}, kter\'e
spl\v{n}uj\'{\i} \( \partial f/\partial p=0 \) (nez\'avis\'{\i} na sou\v{r}adnici \( p \)), je
invariantn\'{\i}. Po t\'eto redukci dost\'av\'ame v\v{s}em dob\v{r}e zn\'am\'e oper\'atory 
\[
\vr (q)=q,\quad \vr (p)=-\im \, \frac{\partial }{\partial q}\, .\]
Je t\v{r}eba ale zd\r{u}raznit, \v{z}e tuto redukci lze uplatnit pouze na ur\v{c}itou podt\v{r}\'{\i}du
oper\'ator\r{u}, specieln\v{e} na \( \vr (q) \) a \( \vr (p) \), nikoli v\v{s}ak obecn\v{e}
na oper\'ator \( \vr (f) \) p\v{r}\'{\i}slu\v{s}n\'y zcela libovoln\'e funkci \( f \). 


\section{\label{MetodaO}Metoda orbit}

Metoda orbit je vlastn\v{e} geometrick\'a konstrukce reprezentac\'{\i} Lieov\'ych algeber
a grup. Postup je shodn\'y s geometrick\'ym kvantov\'an\'{\i}m, ov\v{s}em symplektick\'e variety
a t\v{r}\'{\i}dy funkc\'{\i}, kter\'e chceme kvantovat (p\v{r}i\v{r}adit jim oper\'atory), jsou p\v{r}esn\v{e}
vymezeny a p\v{r}irozen\v{e} z\'avis\'{\i} na dan\'e Lieov\v{e} grup\v{e}. I v p\v{r}\'{\i}pad\v{e} metody orbit se
nebudeme pou\v{s}t\v{e}t do podrobn\'eho v\'ykladu a omez\'{\i}me se na ilustrativn\'{\i} p\v{r}\'{\i}klad,
kter\'ym bude Lieova grupa \( G=SU(2) \). 

Nejprve p\v{r}ece jen n\v{e}kolik obecn\'ych pozn\'amek. Nech\v{t} \( \g  \) je Lieova algebra
a \( \g ^{\ast } \) du\'aln\'{\i} vektorov\'y prostor. Hodnotu funkcion\'alu \( f\in \g ^{\ast } \)
na vektoru \( X\in \g  \) budeme zna\v{c}it jako \( \langle f,\, X\rangle  \)
(t\'{\i}m je zd\r{u}razn\v{e}na dualita mezi prostory \( \g ^{\ast } \) a \( \g  \)). Ka\v{z}d\'emu
prvku \( X\in \g  \) p\v{r}i\v{r}ad\'{\i}me line\'arn\'{\i} funkci \( \lambda _{X} \) na \( \g ^{\ast } \)
vztahem 
\begin{equation}
\label{lambda}
\lambda _{X}(f)=\langle f,\, X\rangle ,\quad f\in \g ^{\ast }\, .
\end{equation}


Na \( \g ^{\ast } \) existuje pr\'av\v{e} jedna Poissonova z\'avorka, kter\'a spl\v{n}uje
\begin{equation}
\label{pzlambda}
\{\lambda _{X},\, \lambda _{Y}\}=\lambda _{[X,\, Y]}\, .
\end{equation}
To jest Poissonova z\'avorka je nejprve p\v{r}edeps\'ana na funkc\'{\i}ch \( \lambda _{X} \)
a potom se jednozna\v{c}n\v{e} prodlu\v{z}uje na v\v{s}echny funkce z prostoru \( \Cinf (\g ^{\ast }) \). 

Zmi\v{n}me se o vztahu mezi symplektick\'ymi a poissonovsk\'ymi varietami. V p\v{r}edch\'a\-zej\'{\i}c\'{\i}
\v{c}\'asti jsme vyu\v{z}ili p\v{r}echodu od symplektick\'e formy k Poissonov\v{e} z\'avorce. V opa\v{c}n\'em
sm\v{e}ru plat\'{\i} n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} obecn\'y v\'ysledek. Na ka\v{z}d\'e poissonovsk\'e variet\v{e} \( (M,\, \{\, ,\, \}) \)
existuje jednozna\v{c}n\v{e} ur\v{c}en\'e rozvrstven\'{\i} (tzv. foliace), jeho\v{z} v\v{s}echny listy
jsou symplektick\'e podvariety variety \( M \). V obecn\'em p\v{r}\'{\i}pad\v{e} mohou b\'yt ve
foliaci zastoupeny listy r\r{u}zn\'e, ale v\v{z}dy nutn\v{e} sud\'e dimenze. Je-li \( \OO \subset M \)
list foliace, potom Poissonova z\'avorka na \( \OO  \) ur\v{c}en\'a p\v{r}\'{\i}slu\v{s}nou symplektickou
strukturou je rovna z\'u\v{z}en\'{\i} p\r{u}vodn\'{\i} Poissonovy z\'avorky definovan\'e na \( M \):
\[
\{f\mid _{\OO },\, g|_{\OO }\}=\{f,\, g\}|_{\OO },\quad \forall f,g\in \Cinf (M)\, .\]
N\'{\i}\v{z}e rozebereme p\v{r}\'{\i}klad, ve kter\'em je symplektick\'a foliace Poissonovy variety
\( M=\R ^{3} \) tvo\v{r}ena sf\'erami se st\v{r}edem v po\v{c}\'atku coby 2-rozm\v{e}rn\'ymi symplektick\'ymi
varietami a po\v{c}\'atkem jako 0-rozm\v{e}rnou varietou. 

Rovn\v{e}\v{z} na du\'aln\'{\i}m prostoru \( \g ^{\ast } \) existuje jednozna\v{c}n\v{e} ur\v{c}en\'a foliace,
jej\'{\i}\v{z} listy jsou symplektick\'e variety. Tyto listy se p\v{r}esn\v{e} shoduj\'{\i} s orbitami
tzv. koadjungovan\'e (coadjoint) akce. Bl\'{\i}\v{z}e se touto akc\'{\i} zab\'yvat nebudeme, ale
n\'azvoslov\'{\i} ``orbita'' se p\v{r}idr\v{z}\'{\i}me. V metod\v{e} orbit se vych\'az\'{\i} pr\'av\v{e} z t\v{e}chto
orbit coby symplektick\'ych variet a kvantuj\'{\i} se funkce na dan\'e orbit\v{e} \( \OO  \)
z\'{\i}skan\'e z\'u\v{z}en\'{\i}m funkc\'{\i} \( \lambda _{X} \) (\ref{lambda}). 

Lieova algebra \( \g =\su (2) \) je tvo\v{r}ena antihermitovsk\'ymi maticemi rozm\v{e}ru
\( 2\times 2 \) s nulovou stopou. Zvolme b\'azi (tradi\v{c}n\'{\i}, a\v{z} na komplexn\'{\i} jednotky
Pauliho matice)
\begin{equation}
\label{J}
J_{1}=\frac{\im }{2}\left( \begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right) ,\quad J_{2}=\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc}
0 & -1\\
1 & 0
\end{array}\right) ,\quad J_{3}=\frac{\im }{2}\left( \begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}\right) \, .
\end{equation}
Plat\'{\i} % txtA = dal\v{s}\'{\i} 2 vztahy cyklicky

\[
[J_{1},\, J_{2}]=J_{3},\quad \txtA .\]
 Libovoln\'y prvek \( X\in \g  \) m\r{u}\v{z}eme ps\'at ve tvaru 
\begin{equation}
\label{X}
X=\sum _{i=1}^{3}x_{i}\, J_{i}=\frac{\im }{2}\left( \begin{array}{cc}
x_{3} & x_{1}+\im x_{2}\\
x_{1}-\im x_{2} & -x_{3}
\end{array}\right) \, .
\end{equation}
T\'{\i}m jsme na \( \g  \) zavedli sou\v{r}adnice \( x_{1} \), \( x_{2} \), \( x_{3} \). 

D\'ale na \( \g  \) zavedeme symetrickou biline\'arn\'{\i} formu vztahem
\[
B(X,\, Y)=-2\Tr XY\, .\]
 Tato forma je pozitivn\v{e} definitn\'{\i}, nebo\v{t} pro \( X \) tvaru (\ref{X}) plat\'{\i}
\[
-2\Tr X^{2}=x_{1}^{\, 2}+x_{2}^{\, 2}+x_{3}^{\, 2}\, .\]
D\'{\i}ky tomu je zobrazen\'{\i}
\begin{equation}
\label{totoz}
\su (2)\rightarrow \su (2)^{\ast }:X\mapsto f_{X},\quad \langle f_{X},\, Y\rangle =B(X,\, Y)\, ,
\end{equation}
vz\'ajemn\v{e} jednozna\v{c}n\'e. Takto ztoto\v{z}\v{n}ujeme vektorov\'y prostor \( \su (2) \) se
sv\'ym du\'aln\'{\i}m prostorem \( \su (2)^{\ast } \). 

Pro jednoduchost pi\v{s}me \( \lambda _{k} \) m\'{\i}sto \( \lambda _{J_{k}} \). Podle
definice (\ref{lambda}) a ztoto\v{z}n\v{e}n\'{\i} (\ref{totoz}) m\'ame
\[
\lambda _{k}(x)=-2\Tr \left( \sum x_{i}J_{i}\right) J_{k}=x_{k}\, .\]


Podle (\ref{pzlambda}) je Poissonova z\'avorka na \( \su (2)^{\ast }\equiv \R ^{3} \)
jednozna\v{c}n\v{e} ur\v{c}ena rovnostmi
\[
\{x_{1},\, x_{2}\}=x_{3},\quad \txtA \, .\]
Nen\'{\i} t\v{e}\v{z}k\'e napsat Poissonovu z\'avorku pro libovoln\'e dv\v{e} funkce:
\begin{equation}
\label{pzR3}
\{f,\, g\}=x_{1}\left( \frac{\partial f}{\partial x_{2}}\, \frac{\partial g}{\partial x_{3}}-\frac{\partial f}{\partial x_{3}}\, \frac{\partial g}{\partial x_{2}}\right) +\mbox {cyklicky}.
\end{equation}
 

Poissonova z\'avorka na libovoln\'e poissonovsk\'e variet\v{e} spl\v{n}uje Leibnizovo pravidlo:
\[
\{f,\, gh\}=\{f,\, g\}h+\{f,\, h\}g\, .\]
Odtud plyne, \v{z}e p\v{r}i pevn\'em \( f \) je zobrazen\'{\i} \( g\mapsto \{f,\, g\} \) ur\v{c}eno
diferenci\'aln\'{\i}m oper\'ato\-rem 1. \v{r}\'adu, to jest jist\'ym vektorov\'ym polem \( \gamma _{f} \).
Obecn\v{e} Poissonovu z\'avorku m\r{u}\v{z}eme ps\'at ve tvaru (srovnej s (\ref{pz}))
\[
\{f,\, g\}=\gamma _{f}\cdot g=-\gamma _{g}\cdot f\, .\]
P\v{r}itom op\v{e}t plat\'{\i} vztah (\ref{gcomm}). 

V p\v{r}\'{\i}pad\v{e} Lieovy z\'avorky (\ref{pzlambda}) definovan\'e na du\'alu \( \g ^{\ast } \)
k Lieov\v{e} algeb\v{r}e \( \g  \) pi\v{s}me \( \xi _{X} \) m\'{\i}sto \( \gamma _{\lambda _{X}} \).
Zobrazen\'{\i}
\[
\xi :\g \to \XX (\g ^{\ast }):X\mapsto \xi _{X}\]
 je homomorfismus Lieov\'ych algeber a naz\'yv\'a se infinitezim\'aln\'{\i} akc\'{\i}. Nen\'{\i} to
nic jin\'eho ne\v{z} zderivovan\'a koadjungovan\'a akce Lieovy grupy \( G \) na \( \g ^{\ast } \),
jej\'{\i}mu\v{z} p\v{r}esn\'emu popisu jsme se vyhnuli. 

V p\v{r}\'{\i}pad\v{e} z\'avorky (\ref{pzR3}) budeme op\v{e}t pro jednoduchost ps\'at \( \gamma _{k} \)
m\'{\i}sto \( \gamma _{x_{k}} \). Snadn\'y v\'ypo\v{c}et d\'av\'a 
\[
\gamma _{1}=x_{3}\, \frac{\partial }{\partial x_{2}}-x_{2}\, \frac{\partial }{\partial x_{3}},\quad \gamma _{2}=x_{1}\, \frac{\partial }{\partial x_{3}}-x_{3}\, \frac{\partial }{\partial x_{1}},\quad \gamma _{3}=x_{2}\, \frac{\partial }{\partial x_{1}}-x_{1}\, \frac{\partial }{\partial x_{2}}\, .\]
Tato vektorov\'a pole jsou te\v{c}n\'a ke sf\'er\'am se st\v{r}edem v po\v{c}\'atku. Tyto sf\'ery jsou
pak p\v{r}esn\v{e} symplektick\'e listy foliace na \( \R ^{3} \) ur\v{c}en\'e poissonovskou
strukturou (je nutno zahrnout i nulov\'y polom\v{e}r, to jest jednobodovou mno\v{z}inu
obsahuj\'{\i}c\'{\i} po\v{c}\'atek). 

Bu\v{d} \( \OO  \) sf\'era o polom\v{e}ru \( r>0 \). Na \( \OO  \) zvol\'{\i}me lok\'aln\'{\i}
komplexn\'{\i} sou\v{r}adnice \( z,\overline{z} \):
\[
z=\frac{x_{1}+\im \, x_{2}}{r+x_{3}},\quad \overline{z}=\frac{x_{1}-\im \, x_{2}}{r+x_{3}}\, .\]
Inverzn\'{\i} transformace m\'a tvar
\begin{equation}
\label{xtoz}
x_{1}=r\, \frac{z+\overline{z}}{1+|z|^{2}},\quad x_{2}=-\im r\, \frac{z-\overline{z}}{1+|z|^{2}},\quad x_{3}=r\, \frac{1-|z|^{2}}{1+|z|^{2}}\, .
\end{equation}
Tyto lok\'aln\'{\i} sou\v{r}adnice pokr\'yvaj\'{\i} celou sf\'eru s v\'yjimkou jedin\'eho bodu \( x=(0,0,-r) \). 

Pro ur\v{c}en\'{\i} Poissonovy z\'avorky na \( \OO  \) sta\v{c}\'{\i} vypo\v{c}\'{\i}tat \( \{z,\, \overline{z}\} \).
P\v{r}itom uplatn\'{\i}me pravidlo
\[
\left\{ f,\, \frac{1}{g}\right\} =-\frac{1}{g^{2}}\, \{f,\, g\}\, .\]
Dost\'av\'ame
\begin{eqnarray*}
\{z,\, \overline{z}\} & = & \left\{ \frac{x_{1}+\im \, x_{2}}{r+x_{3}},\, \frac{x_{1}-\im \, x_{2}}{r+x_{3}}\right\} \\
 & = & \frac{1}{(r+x_{3})^{2}}\, \{x_{1}+\im \, x_{2},\, x_{1}-\im \, x_{2}\}-\frac{x_{1}-\im \, x_{2}}{(r+x_{3})^{3}}\, \{x_{1}+\im \, x_{2},\, x_{3}\}\\
 &  & -\frac{x_{1}+\im \, x_{2}}{(r+x_{3})^{3}}\, \{x_{3},\, x_{1}-\im \, x_{2}\}\, .
\end{eqnarray*}
V\'ysledek:
\[
\{z,\, \overline{z}\}=-\frac{\im }{2r}\, (1+|z|^{2})^{2}\, .\]


Vektorov\'a pole p\v{r}\'{\i}slu\v{s}n\'a sou\v{r}adnicov\'ym funkc\'{\i}m:
\begin{equation}
\label{gammaz}
\gamma _{z}=-\frac{\im }{2r}\, (1+|z|^{2})^{2}\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}},\quad \gamma _{\overline{z}}=\frac{\im }{2r}\, (1+|z|^{2})^{2}\, \frac{\partial }{\partial z}\, .
\end{equation}
Symplektick\'a forma na \( \OO  \) je ur\v{c}ena vztahem \( \{z,\, \overline{z}\}=-\omega (\gamma _{z},\, \gamma _{\overline{z}}) \)
(viz. (\ref{pz})), 
\[
\omega =-\frac{2r\im }{(1+|z|^{2})^{2}}\, dz\wedge d\overline{z}\, .\]


Zvolme dal\v{s}\'{\i} syst\'em komplexn\'{\i}ch sou\v{r}adnic \( w,\, \overline{w} \) tak, abychom
pokryli celou sf\'eru, a sice
\[
w=\frac{1}{z}\, .\]
Bod \( w=0 \) odpov\'{\i}d\'a \( z=\infty  \). Plat\'{\i}
\[
dz=-\frac{1}{w^{2}}\, dw\]
a
\[
\omega =-\frac{2r\im }{(1+|w|^{2})^{2}}\, dw\wedge d\overline{w}\]
(v sou\v{r}adnic\'{\i}ch \( w \) m\'a \( \omega  \) form\'aln\v{e} stejn\'y tvar jako v sou\v{r}adnic\'{\i}ch
\( z \)). 

Zvolme nyn\'{\i} pro sou\v{r}adn\'e syst\'emy \( z \) a \( w \) po \v{r}ad\v{e} 1-formy \( \nu _{+} \)
a \( \nu _{-} \) s vlastnost\'{\i} \( d\nu _{\pm }=\omega  \):
\begin{equation}
\label{nupm}
\nu _{+}=\frac{2r\im \, \overline{z}}{1+|z|^{2}}\, dz,\quad \nu _{-}=\frac{2r\im \, \overline{w}}{1+|w|^{2}}\, dw\, .
\end{equation}
Vyj\'ad\v{r}\'{\i}me 1-formu \( \nu _{-} \) rovn\v{e}\v{z} v sou\v{r}adnic\'{\i}ch \( z \):
\[
\nu _{-}=-\frac{2r\im }{(1+|z|^{2})z}\, dz\, .\]
Pochopiteln\v{e} v sou\v{r}adnic\'{\i}ch \( z \) m\'a forma \( \nu _{-} \) p\'ol v bod\v{e} \( z=0 \).
Na oblasti \( z\neq 0 \), \( z\neq \infty  \) m\'ame vztah
\begin{equation}
\label{nudif}
\nu _{+}-\nu _{-}=2r\im \, \frac{dz}{z}\, .
\end{equation}


Kvantovac\'{\i} p\v{r}edpis (\ref{gq}) m\'{\i}rn\v{e} pozm\v{e}n\'{\i}me. V jednotliv\'ych sou\v{r}adnic\'{\i}ch
zav\'ad\'{\i}me oper\'atory
\begin{equation}
\label{gqsu}
\vr _{\pm }(f)=\gamma _{f}+\im \, \nu _{\pm }(\gamma _{f})+\im \, f\, .
\end{equation}
P\v{r}i t\'eto volb\v{e} komuta\v{c}n\'{\i} vztah mezi oper\'atory m\'a tvar
\[
[\vr _{\pm }(f),\, \vr _{\pm }(g)]=\vr _{\pm }(\{f,\, g\})\, .\]


Na variet\'ach s netrivi\'aln\'{\i} topologi\'{\i} jako je sf\'era se nav\'{\i}c po\v{z}aduje, aby oper\'atory
\( \vr _{\pm }(f) \) (\ref{gqsu}) byly \'uzce sv\'az\'any. P\v{r}esn\v{e}ji, v na\v{s}em konkr\'etn\'{\i}m
p\v{r}\'{\i}klad\v{e} budeme po\v{z}ado\-vat, aby existovala funkce \( \varphi  \) definovan\'a
a v\v{s}ude nenulov\'a na oblasti \( z\neq 0 \), \( z\neq \infty  \) (ekvivalentn\v{e}
\( w\neq 0 \), \( w\neq \infty  \)) s vlastnost\'{\i}
\begin{equation}
\label{ktop}
\vr _{-}(f)=\varphi \, \vr _{+}(f)\, \varphi ^{-1}\, .
\end{equation}
Dvojice oper\'ator\r{u} \( (\vr _{+}(f),\, \vr _{-}(f)) \) potom bude konzistentn\v{e}
p\r{u}sobit v prostoru dvojic funkc\'{\i} \( (\psi  \)\( _{+},\, \psi _{-}) \), kter\'e
jsou sv\'az\'any vztahem 
\begin{equation}
\label{ktfce}
\psi _{-}=\varphi \, \psi _{+}\, .
\end{equation}
Konzistenc\'{\i} je m\'{\i}n\v{e}na rovnost
\[
\vr _{-}(f)\psi _{-}=\varphi \, \vr _{+}(f)\psi _{+}\, ,\]
 kter\'a ji\v{z} plyne ze vztah\r{u} (\ref{ktop}), (\ref{ktfce}). Ve fyzice se vztahy
(\ref{ktop}), (\ref{ktfce}) b\v{e}\v{z}n\v{e} naz\'yvaj\'{\i} kalibra\v{c}n\'{\i}mi transformacemi. V
diferenci\'aln\'{\i} geometrii se \( \varphi  \) naz\'yv\'a p\v{r}echodovou funkc\'{\i} (transition
function) a ur\v{c}uje jednorozm\v{e}rn\'y komplexn\'{\i} fibrovan\'y prostor (line bundle) nad
sf\'erou jako bazick\'ym prostorem. 

Rovnost (\ref{ktop}) m\r{u}\v{z}eme p\v{r}epsat jako 
\[
\im \, \nu _{-}(\gamma _{f})=-\varphi ^{-1}\, \gamma _{f}\cdot \varphi +\im \, \nu _{+}(\gamma _{f})\, ,\]
\v{c}i ekvivalentn\v{e}
\[
\nu _{+}-\nu _{-}=-\im \, \varphi ^{-1}\, d\varphi \, .\]
Po dosazen\'{\i} z (\ref{nudif}) dost\'av\'ame
\[
-2r\, \frac{dz}{z}=\frac{d\varphi }{\varphi }\, .\]
Po\v{z}adovan\'a funkce \( \varphi  \) existuje, pr\'av\v{e} kdy\v{z} polom\v{e}r \( r \) je polocel\'e
\v{c}\'{\i}slo, 
\begin{equation}
\label{kvantr}
r=\frac{n}{2},\quad n=0,1,2,\dots \, ,
\end{equation}
(bez probl\'em\r{u} m\r{u}\v{z}eme zahrnout i nulov\'y polom\v{e}r), a je rovna 
\begin{equation}
\label{tranfce}
\varphi (z)=z^{-n}\, .
\end{equation}
Na vztah (\ref{kvantr}) m\r{u}\v{z}eme pohl\'{\i}\v{z}et jako na kvantovac\'{\i} podm\'{\i}nku. 

Vyj\'ad\v{r}\'{\i}me vektorov\'a pole \( \gamma _{k} \) p\v{r}\'{\i}slu\v{s}n\'a funkc\'{\i}m \( x_{k}=x_{k}(z,\, \overline{z}) \)
(\ref{xtoz}). Z\v{r}ejm\v{e}
\[
\gamma _{k}=\frac{\partial x_{k}}{\partial z}\, \gamma _{z}+\frac{\partial x_{k}}{\partial \overline{z}}\, \gamma _{\overline{z}}\, ,\]
kde vektorov\'a pole \( \gamma _{z},\, \gamma _{\overline{z}} \) jsme nalezli
ve vztahu (\ref{gammaz}). P\v{r}\'{\i}mo\v{c}ar\'y v\'ypo\v{c}et d\'av\'a
\begin{eqnarray}
\gamma _{1} & = & \frac{\im }{2}\, (1-z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}-\frac{\im }{2}\, (1-\overline{z}^{2})\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}\, ,\nonumber \\
\gamma _{2} & = & -\frac{1}{2}\, (1+z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}-\frac{1}{2}\, (1+\overline{z}^{2})\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}\, ,\label{gammak} \\
\gamma _{3} & = & -\im \, z\, \frac{\partial }{\partial z}+\im \, \overline{z}\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}\, .\nonumber 
\end{eqnarray}
 P\v{r}itom jsou spln\v{e}ny komuta\v{c}n\'{\i} vztahy
\[
[\gamma _{1},\, \gamma _{2}]=\gamma _{3},\quad \txtA \, .\]


M\'{\i}sto \( \vr _{+}(\lambda _{J_{k}}) \) budeme ps\'at jednodu\v{s}e \( \vr _{+}(J_{k}) \).
V\'ypo\v{c}et je op\v{e}t p\v{r}\'{\i}mo\v{c}ar\'y s vyu\v{z}it\'{\i}m rovnost\'{\i} (\ref{gqsu}), (\ref{nupm}) a
d\'av\'a
\begin{eqnarray}
\vr _{+}(J_{1}) & = & \frac{\im }{2}\, (1-z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}-\frac{\im }{2}\, (1-\overline{z}^{2})\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}+\im \, \frac{n}{2}\, z\, ,\nonumber \\
\vr _{+}(J_{2}) & = & -\frac{1}{2}\, (1+z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}-\frac{1}{2}\, (1+\overline{z}^{2})\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}+\frac{n}{2}\, z\, ,\label{vrJnored} \\
\vr _{+}(J_{3}) & = & -\im \, z\, \frac{\partial }{\partial z}+\im \, \overline{z}\, \frac{\partial }{\partial \overline{z}}+\im \, \frac{n}{2}\, z\, .\nonumber 
\end{eqnarray}


Oper\'atory (\ref{vrJnored}) je op\v{e}t t\v{r}eba redukovat. V tomto p\v{r}\'{\i}pad\v{e} invariantn\'{\i}
podprostor bude tvo\v{r}en holomorfn\'{\i}mi funkcemi. Transforma\v{c}n\'{\i} vztah (\ref{ktfce})
a tvar funkce \( \varphi  \) (\ref{tranfce}) ale p\v{r}edstavuj\'{\i} siln\'e omezen\'{\i}.
Je-li \( \psi _{+}(z) \) holomorfn\'{\i} funkce na \( \C  \), potom \( \psi _{-}(w)=w^{n}\, \psi _{+}(1/w) \)
mus\'{\i} b\'yt rovn\v{e}\v{z} holomorfn\'{\i} funkce na \( \C  \) v\v{c}etn\v{e} bodu \( w=0 \) (to jest
\( z=\infty  \)). Tato podm\'{\i}nka je spln\v{e}na pr\'av\v{e} tehdy, je-li \( \psi _{+}(z) \)
polynom stupn\v{e} nejv\'y\v{s}e \( n \).

Ve v\'ysledn\'ych vzore\v{c}c\'{\i}ch vypust\'{\i}me index \( + \). Pro dan\'e \( n\in \Z _{+} \)
oper\'atory 
\begin{eqnarray}
\vr (J_{1}) & = & \frac{\im }{2}\, (1-z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}+\im \, \frac{n}{2}\, z\, ,\nonumber \\
\vr (J_{2}) & = & -\frac{1}{2}\, (1+z^{2})\, \frac{\partial }{\partial z}+\frac{n}{2}\, z\, ,\label{vrJ} \\
\vr (J_{3}) & = & -\im \, z\, \frac{\partial }{\partial z}+\im \, \frac{n}{2}\, z\, ,\nonumber 
\end{eqnarray}
p\r{u}sob\'{\i} v prostoru
\[
\HH _{n}=\Span _{\C }\{1,z,\dots ,z^{n}\}\]
a spl\v{n}uj\'{\i} komuta\v{c}n\'{\i} relace
\[
[\vr (J_{1}),\, \vr (J_{2})]=\vr (J_{3}),\quad \txtA \, .\]
Oper\'atory (\ref{vrJ}) definuj\'{\i} \( (n+1) \)-rozm\v{e}rnou irreducibiln\'{\i} reprezentaci
Lieovy algebry \( \su (2) \). Za pozornost jist\v{e} stoj\'{\i} fakt, \v{z}e jsou t\'{\i}m vy\v{c}erp\'any
v\v{s}echny irreducibiln\'{\i} reprezentace \( \su (2) \) (jak je dob\v{r}e zn\'amo z libovoln\'e
u\v{c}ebnice kvantov\'e mechaniky zab\'yvaj\'{\i}c\'{\i} se momentem hybnosti \v{c}i naopak z libovoln\'e
u\v{c}ebnice zab\'yvaj\'{\i}c\'{\i} se teori\'{\i} reprezentac\'{\i} jednoduch\'ych Lieov\'ych algeber).

Metodu orbit, kterou jsme ilustrovali na jednom specieln\'{\i}m p\v{r}\'{\i}kladu, 
lze aplikovat na libovolnou Lieovu grupu. Pro mnoh\'e 
b\v{e}\v{z}n\v{e} pou\v{z}\'{\i}van\'e Lieovy grupy tato konstrukce
d\'av\'a vynikaj\'{\i}c\'{\i} v\'ysledky a vede na v\v{s}echny \v{c}i ``skoro v\v{s}echny'' irreducibiln\'{\i}
reprezentace. Pro n\v{e}kter\'e specieln\'{\i} podt\v{r}\'{\i}dy Lieov\'ych grup je tento v\'ysledek
dok\'az\'an rigor\'ozn\v{e}. Zcela obecn\'e a univerz\'aln\'{\i} tvrzen\'{\i} tohoto typu, pokud je
mi zn\'amo, neexistuje. 


\section{\label{PoissGr}Poissonovy grupy}

Jeden z mo\v{z}n\'ych pohled\r{u} na kvantov\'e grupy je, \v{z}e p\v{r}edstavuj\'{\i} kvantov\'an\'{\i} Poissonov\'ych
(Lieov\'ych) grup. Poissonova grupa je Lieova grupa, na kter\'e je 
nav\'{\i}c zavedena
Poissonova z\'avorka, a ob\v{e} struktury jsou v jist\'em smyslu v souladu. Up\v{r}esn\v{e}me
tyto pojmy.

Jsou-li \( (M,\, \{\, ,\, \}_{M}) \) a \( (N,\, \{\, ,\, \}_{N}) \) dv\v{e} Poissonovy
variety, potom na kart\'ezsk\'em sou\v{c}inu \( M\times N \) lze rovn\v{e}\v{z} p\v{r}irozen\'ym
zp\r{u}sobem zav\'est Poissonovu z\'avorku. Ve specieln\'{\i}m p\v{r}\'{\i}pad\v{e}, kdy v obou funkc\'{\i}ch,
kter\'e vystupuj\'{\i} jako argumenty Poissonovy z\'avorky, jsou prom\v{e}nn\'e \( x\in M \)
a \( y\in N \) separov\'any, plat\'{\i} rovnost 
\begin{equation}
\label{zavorkartez}
\{f(x)g(y),\, f'(x)g'(y)\}=\{f(x),\, f'(x)\}_{M}\, g(y)g'(y)+f(x)f'(x)\, \{g(y),\, g'(y)\}_{N}\, .
\end{equation}
Tato z\'avorka se pak jednozna\v{c}n\v{e} prodlu\v{z}uje na libovoln\'e funkce z prostoru \( \Cinf (M\times N) \).

O zobrazen\'{\i} \( F:(M,\, \{\, ,\, \}_{M})\rightarrow (N,\, \{\, ,\, \}_{N}) \)
\v{r}ekneme, \v{z}e je poissonovsk\'e, jestli\v{z}e pull-back zobrazen\'{\i}
\[
F^{\ast }:\Cinf (N)\rightarrow \Cinf (M),\quad F^{\ast }f=f\circ F\, ,\]
zachov\'av\'a Poissonovu z\'avorku, to jest jestli\v{z}e plat\'{\i}
\[
F^{\ast }\{f,\, g\}_{N}=\{F^{\ast }f,\, F^{\ast }g\}_{M}\, .\]


\emph{Poissonova grupa} je Lieova grupa, kter\'a je sou\v{c}asn\v{e} 
Poissonovou varietou \( (G,\, \{\, ,\, \}) \),
p\v{r}i\v{c}em\v{z} grupov\'e n\'asoben\'{\i}
\[
m:G\times G\rightarrow G\]
je poissonovsk\'e zobrazen\'{\i}. 


\subsubsection*{P\v{r}\'{\i}klad: SU(2)}

Prvky \( SU(2) \) jsou unimodul\'arn\'{\i} matice 
\[
g=\left( \begin{array}{cc}
g_{11} & g_{12}\\
g_{21} & g_{22}
\end{array}\right) ,\quad g_{11}g_{22}-g_{12}g_{21}=1\, .\]
Unitarita \( g^{\ast }=g^{-1} \) znamen\'a, \v{z}e
\[
g_{21}=-\overline{g_{12}},\, \, g_{22}=\overline{g_{11}}\, .\]
Na \( SU(2) \) zavedeme funkce \( a,\, b,\, c,\, d \) p\v{r}edpisem
\[
a(g)=g_{11},\, b(g)=g_{12},\, c(g)=g_{21},\, d(g)=g_{22}\, .\]
Tyto funkce nejsou nez\'avisl\'e, spl\v{n}uj\'{\i} vztahy
\begin{equation}
\label{det}
ad-bc=1
\end{equation}
a
\begin{equation}
\label{ast}
c=-b^{\ast },\, \, d=a^{\ast }\, .
\end{equation}
Zde symbol \( ^{\ast } \) zna\v{c}\'{\i} involuci v prostoru komplexn\'{\i}ch funkc\'{\i} \( \Cinf (SU(2)) \)
(stejn\v{e} tak jako v p\v{r}\'{\i}pad\v{e} libovoln\'e jin\'e variety) definovanou p\v{r}irozen\v{e} takto:
\begin{equation}
\label{invol}
f^{\ast }(g)=\overline{f(g)}\, .
\end{equation}
\v{C}asto je v\'yhodn\'e omezit se na podalgebru algebry \( \Cinf (SU(2)) \) (n\'asoben\'{\i}
funkc\'{\i} se zav\'ad\'{\i} samoz\v{r}ejm\v{e} bodov\v{e} jako \( (fg)(a)=f(a)g(a) \)) generovanou
funkcemi \( a,\, b,\, c,\, d \). Tuto podalgebru m\r{u}\v{z}eme popsat jako faktoralgebru 
\begin{equation} 
\AA=\C[a,b,c,d]/\mbox{relace (\ref{det}), (\ref{ast})}\label{AA} 
\end{equation} (\( \C [x,y,\dots ] \) zna\v{c}\'{\i} algebru komplexn\'{\i}ch polynom\r{u} v
prom\v{e}nn\'ych \( x,y,\dots  \)). Poissonova z\'avorka je p\v{r}edeps\'ana na gener\'atorech
\( a,b,c,d \) n\'asleduj\'{\i}c\'{\i}m zp\r{u}sobem
\begin{eqnarray*}
 & \{a,\, b\}=\im \, ab,\quad \{a,\, c\}=\im \, ac, & \\
 & \{b,\, c\}=0,\quad \{a,\, d\}=2\im \, bc. & 
\end{eqnarray*}
Dal\v{s}\'{\i} rovnosti plynou z relac\'{\i} (\ref{ast}) a z toho, \v{z}e Poissonova z\'avorka
je re\'aln\'a, to jest \v{z}e plat\'{\i}
\begin{equation}
\{f,\, g\}^{\ast }=\{f^{\ast },\, g^{\ast }\}\, .
\end{equation}


Jako uk\'azku ov\v{e}\v{r}\'{\i}me rovnost
\begin{equation}
\label{zavorab}
\{m^{\ast }a,\, m^{\ast }b\}=m^{\ast }\{a,\, b\}\, ,
\end{equation}
kde \( m:SU(2)\times SU(2)\to SU(2) \) je grupov\'e n\'asoben\'{\i}. 

Nejprve si v\v{s}imn\v{e}me, \v{z}e pro libovoln\'e variety \( M \) a \( N \) lze p\v{r}irozen\v{e}
vno\v{r}it
\begin{equation}
\label{vnor}
\Cinf (M)\otimes \Cinf (N)\hookrightarrow \Cinf (M\times N)\, .
\end{equation}
Jsou-li d\'any funkce \( f(x)\in \Cinf (M) \) a \( g(y)\in \Cinf (N) \), pak
jejich tenzorov\'y sou\v{c}in \( f\otimes g \) m\r{u}\v{z}eme ch\'apat jako funkci na variet\v{e}
\( M\times N \):
\begin{equation}
\label{tenzor}
(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)\, .
\end{equation}
Tento fakt vyu\v{z}ijeme i v dal\v{s}\'{\i}ch kapitol\'ach.

Ur\v{c}eme \( m^{\ast }a,\, m^{\ast }b,\, m^{\ast }c,\, m^{\ast }d\in \Cinf (SU(2)\times SU(2)) \).
Plat\'{\i}
\begin{eqnarray*}
\left( \begin{array}{cc}
m^{\ast }a(g_{1},g_{2}) & m^{\ast }b(g_{1},g_{2})\\
m^{\ast }c(g_{1},g_{2}) & m^{\ast }d(g_{1},g_{2})
\end{array}\right)  & = & \left( \begin{array}{cc}
a(g_{1}g_{2}) & b(g_{1}g_{2})\\
c(g_{1}g_{2}) & d(g_{1}g_{2})
\end{array}\right) \\
 & = & \left( \begin{array}{cc}
a(g_{1}) & b(g_{1})\\
c(g_{1}) & d(g_{1})
\end{array}\right) \left( \begin{array}{cc}
a(g_{2}) & b(g_{2})\\
c(g_{2}) & d(g_{2})
\end{array}\right) \, .
\end{eqnarray*}
S vyu\v{z}it\'{\i}m vno\v{r}en\'{\i} (\ref{vnor}), (\ref{tenzor}) m\r{u}\v{z}eme ps\'at \\
\begin{equation}\label{mastgen}
\begin{split}
m^\ast a = a\otimes a+b\otimes c,\quad m^\ast b = a\otimes b+b\otimes d, \\
m^\ast c = c\otimes a+d\otimes c,\quad m^\ast d = c\otimes b+d\otimes d. 
\end{split}
\end{equation} Pov\v{s}imn\v{e}me si, \v{z}e
\begin{equation}
\label{mast}
m^{\ast }:\AA \rightarrow \AA \otimes \AA \, ,
\end{equation}
kde algebru \( \AA  \) jsme zavedli v (\ref{AA}).

Lev\'a strana (\ref{zavorab}) je podle pravidla (\ref{zavorkartez}) rovna
\begin{eqnarray*}
\{a\otimes a+b\otimes c,\, a\otimes b+b\otimes d\} & = & \{a,\, b\}\otimes ad+\{b,\, a\}\otimes cb+a^{2}\otimes \{a,\, b\}\\
 &  & +ab\otimes \{a,\, d\}+ba\otimes \{c,\, b\}+b^{2}\otimes \{c,\, d\}\\
 & = & \im (ab\otimes ad-ab\otimes bc+a^{2}\otimes ab\\
 &  & +2ab\otimes bc+b^{2}\otimes bc)\\
 & = & \im (a\otimes a+b\otimes c)(a\otimes b+b\otimes d)\, .
\end{eqnarray*}
Posledn\'{\i} v\'yraz se ale rovn\'a prav\'e stran\v{e} (\ref{zavorab}). 


\section{\label{HopfAlg}Hopfovy algebry}

Kvantov\'a grupa coby matematick\'a struktura je Hopfova algebra. Hopfova algebra
je bialgebra \( A \) nad t\v{e}lesem \( \k  \) (my budeme pracovat s t\v{e}lesem
\( \k =\C  \)), na kter\'e je nav\'{\i}c definov\'an tzv. antipode \( S:A\rightarrow A \).
Bialgebra je vektorov\'y prostor \( A \), na kter\'em je zavedena sou\v{c}asn\v{e} struktura
algebry s n\'asoben\'{\i}m \( \mu :A\otimes A\rightarrow A \) a koalgebry s kon\'asoben\'{\i}m
\( \Delta :A\rightarrow A\otimes A \), d\'ale jednotka \( \eta :\k \to A \)
a kojednotka \( \ve :A\to \k  \), p\v{r}i\v{c}em\v{z} tato zobrazen\'{\i} vyhovuj\'{\i} ur\v{c}it\'ym axiom\r{u}m
(jsou spolu p\v{r}irozen\'ym zp\r{u}sobem sv\'az\'ana, p\v{r}esn\v{e}ji n\'{\i}\v{z}e).

Kon\'asoben\'{\i} je du\'aln\'{\i} zobrazen\'{\i} vzhledem k n\'asoben\'{\i}. Zn\'azor\v{n}ujeme-li zobrazen\'{\i}
pomoc\'{\i} diagram\r{u}, pak dualita se projev\'{\i} jednodu\v{s}e tak, \v{z}e se v\v{s}ude zm\v{e}n\'{\i} orientace
\v{s}ipek. Nap\v{r}\'{\i}klad po\v{z}adujeme, aby n\'asoben\'{\i} \( \mu  \) bylo asociativn\'{\i}. Tento
po\v{z}adavek m\r{u}\v{z}eme zn\'azornit pomoc\'{\i} komutativn\'{\i}ho diagramu
\begin{equation}\label{asoc} 
\begin{gathered}
\xymatrix{ & \AA\otimes\AA \ar[dr]^\mu \\ 
\AA\otimes\AA\otimes\AA \ar[ur]^{\mu\otimes\id} \ar[dr]_{\id\otimes\mu} 
& & \quad\AA\ .\quad \\ 
& \AA\otimes\AA \ar[ur]_\mu }
\end{gathered}
\end{equation} Du\'aln\v{e} po\v{z}adujeme, aby kon\'asoben\'{\i} \( \Delta  \) bylo koasociativn\'{\i},
co\v{z} odpov\'{\i}d\'a komutativn\'{\i}mu diagramu 
\begin{equation}\label{koasoc} 
\begin{gathered}
\xymatrix{ & \AA\otimes\AA \ar[dr];[]_\Delta \\ 
\AA\otimes\AA\otimes\AA \ar[ur];[]_{\Delta\otimes\id} \ar[dr];[]^{\id\otimes\Delta} 
& & \quad\AA\ .\quad \\ 
& \AA\otimes\AA \ar[ur];[]^\Delta }
\end{gathered}
\end{equation} 

Jednotka \( 1\in \AA  \) implikuje vno\v{r}en\'{\i} t\v{e}lesa \( \k  \) do algebry, to
jest zobrazen\'{\i} \( \eta :\k \rightarrow \AA :x\mapsto x1 \). Kojednotka \( \ve  \)
je du\'aln\'{\i} k zobrazen\'{\i} \( \eta  \). Jestli\v{z}e je komutativn\'{\i} n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} diagram,
ve kter\'em vystupuje \( \eta  \), 
\begin{equation}\label{jednot}
\begin{gathered}
\xymatrix{ \k\otimes\AA \ar[r]^{\eta\otimes\id} \ar[dr]_\cong & \AA\otimes\AA \ar[d]_\mu & \AA\otimes\k\,, \ar[l]_{\id\otimes\eta} \ar[dl]^\cong \\
 & \ \AA & }
\end{gathered}
\end{equation} pak budeme po\v{z}adovat, aby byl komutativn\'{\i} i diagram 
\begin{equation}\label{kojednot}
\begin{gathered}
\xymatrix{ \k\otimes\AA \ar[r];[]_{\ve\otimes\id} \ar[dr];[]^\cong & \AA\otimes\AA \ar[d];[]^\Delta & \AA\otimes\k\,. \ar[l];[]^{\id\otimes\ve} \ar[dl];[]_\cong \\
 & \ \AA & }
\end{gathered}
\end{equation} Zde p\v{r}irozen\v{e} ztoto\v{z}\v{n}ujeme tenzorov\'y sou\v{c}in \( \k \otimes \AA  \)
s \( \AA  \) (\( x\otimes f=1\otimes xf\equiv xf \)), podobn\v{e} ztoto\v{z}\v{n}ujeme
\( \AA \otimes \k  \) s \( \AA  \). 

V\'yznam antipodu \( S \) se nejl\'epe oz\v{r}ejm\'{\i} na konkr\'etn\'{\i}ch p\v{r}\'{\i}kladech, kter\'e
uv\'ad\'{\i}me n\'{\i}\v{z}e. 

\emph{Algebrou} budeme rozum\v{e}t trojici \( (\AA ,\mu ,\eta ) \), 
kde \( \AA  \) je vektorov\'y prostor nad \( \k  \), zobrazen\'{\i} 
\( \mu  \) a \( \eta  \) jsou
line\'arn\'{\i} a diagramy 
(\ref{asoc}), (\ref{jednot}) jsou komutativn\'{\i}. 
\emph{Koalgebra} je trojice \( (\AA ,\Delta ,\ve ) \), kde \( \AA  \) 
je vektorov\'y prostor
nad \( \k  \), zobrazen\'{\i} \( \Delta  \) a \( \ve  \) jsou line\'arn\'{\i} a diagramy
(\ref{koasoc}), (\ref{kojednot}) jsou komutativn\'{\i}.

\emph{Bialgebra} je p\v{e}tice \( (\AA ,\mu ,\eta ,\Delta ,\ve ) \), 
p\v{r}i\v{c}em\v{z} \( (\AA ,\mu ,\eta ) \)
je algebra a \( (\AA ,\Delta ,\ve ) \) je koalgebra. D\'ale struktury algebry
a koalgebry mus\'{\i} b\'yt, jak bylo mo\v{z}no o\v{c}ek\'avat, spolu ur\v{c}it\'ym zp\r{u}sobem sv\'az\'any.
Jednou z ekvivalentn\'{\i}ch mo\v{z}nost\'{\i}, jak tak u\v{c}init, je po\v{z}adavek, aby kon\'asoben\'{\i}
\( \Delta :\AA \rightarrow \AA \otimes \AA  \) bylo homomorfismem algeber.
Zde vyu\v{z}\'{\i}v\'ame toho, \v{z}e na \( \AA \otimes \AA  \) lze zav\'est n\'asoben\'{\i}, a tedy
strukturu algebry, p\v{r}edpisem 
\[
(f\otimes g)(f'\otimes g')=ff'\otimes gg'\, .\]
Stejn\v{e} tak mus\'{\i} b\'yt kojednotka \( \ve :\AA \rightarrow \k  \) homomorfismem
algeber. 

Ekvivalentn\'{\i} podm\'{\i}nka je, aby zobrazen\'{\i} \( \mu  \) a \( \eta  \) byly homomorfismy
koalgeber. 

Antipode je line\'arn\'{\i} zobrazen\'{\i} \( S:\AA \rightarrow \AA  \), kter\'e spl\v{n}uje
rovnosti 
\[
\mu \circ (S\otimes \id )\circ \Delta =\mu \circ (\id \otimes S)\circ \Delta =\eta \circ \ve \, .\]
Lze uk\'azat, \v{z}e antipode je antihomomorfismem algebry: \( S(fg)=S(g)S(f) \).
\emph{Hopfova algebra} je bialgebra s antipodem.


\subsubsection*{P\v{r}\'{\i}klad 1: algebra funkc\'{\i} na kone\v{c}n\'e grup\v{e}}

Bu\v{d} \( G \) kone\v{c}n\'a grupa a \( \AA =\Fun (G) \) algebra funkc\'{\i} na \( G \)
s bodov\'ym n\'asoben\'{\i}m, \( \dim \AA =|G| \) (po\v{c}et prvk\r{u} grupy). Je-li \( x\in \k  \),
pak \( \eta (x) \) je funkce na \( G \) identicky rovna \( x \). D\'ale vyu\v{z}ijeme
toho, \v{z}e vno\v{r}en\'{\i} \( \Fun (G)\otimes \Fun (G)\hookrightarrow \Fun (G\times G) \)
je isomorfismus (viz. (\ref{vnor}); dimense obou prostor\r{u} je rovna 
\( |G|^{2} \)).
Je-li \( f\in \AA  \), pak \( \Delta f \) jako prvek z \( \Fun (G\times G)\equiv \AA \otimes \AA  \)
definujeme p\v{r}edpisem
\[
\Delta f(a_{1},a_{2})=f(a_{1}\cdot a_{2})\]
(\( a_{1}\cdot a_{2} \) je n\'asoben\'{\i} v grup\v{e} \( G \)). Kojednotku a antipode
zav\'ad\'{\i}me n\'asledovn\v{e}:
\[
\ve (f)=f(e),\quad Sf(a)=f(a^{-1})\]
(\( e\in G \) je jednotkov\'y prvek). 


\subsubsection*{P\v{r}\'{\i}klad 2: grupov\'a algebra kone\v{c}n\'e grupy}

Bu\v{d} op\v{e}t \( G \) kone\v{c}n\'a grupa a nech\v{t} \( \UU  \) je grupov\'a algebra \( G \).
\( \UU  \) je vektorov\'y prostor, jeho\v{z} b\'azi tvo\v{r}\'{\i} elementy grupy \( G \),
tedy prvky \( \UU  \) jsou line\'arn\'{\i} kombinace
\begin{equation}
\label{prvekx}
x=\sum _{a\in G}x_{a}\, a,\quad x_{a}\in \k \, .
\end{equation}
Op\v{e}t \( \dim \UU =|G| \). N\'asoben\'{\i} sta\v{c}\'{\i} p\v{r}edepsat na bazick\'ych vektorech \( a,b\in G \)
a v tom p\v{r}\'{\i}pad\v{e} se shoduje s grupov\'ym n\'asoben\'{\i}m v \( G \), \( \mu (a\otimes b)=a\cdot b \).
D\'ale \( \eta (x)=x\, e \), \( x\in\k \). 
Obdobn\v{e} kon\'asoben\'{\i}, kojednotku a antipode sta\v{c}\'{\i}
p\v{r}edepsat na prvc\'{\i}ch b\'aze. Definujeme
\[
\Delta a=a\otimes a,\, \ve (a)=1,\, Sa=a^{-1},\quad a\in G\, .\]


P\v{r}\'{\i}klady 1 a 2 jsou navz\'ajem du\'aln\'{\i}. 
\emph{P\'arov\'an\'{\i}m} mezi \( \UU  \) a \( \AA  \)
nazveme biline\'arn\'{\i} zobrazen\'{\i} (\( x\in \UU  \) je tvaru (\ref{prvekx})) 
\[
\langle \, ,\, \rangle :\UU \times \AA \rightarrow \k ,\, (x,f)\mapsto \langle x,\, f\rangle =\sum _{a\in G}x_{a}\, f(a)\, .\]
Vlastnosti, kter\'e p\'arov\'an\'{\i} mus\'{\i} spl\v{n}ovat, 
jsou tyto: je nedegenerovan\'e 
(\( \langle x,\, f\rangle =0,\, \forall x\Rightarrow f=0 \)
a obdobn\v{e} pro druh\'y argument) a spl\v{n}uje rovnosti 
\begin{eqnarray*}
 & \langle \Delta x,\, f\otimes g\rangle =\langle x,\, \mu (f\otimes g)\rangle ,\quad \langle x\otimes y,\, \Delta f\rangle =\langle \mu (x\otimes y),\, f\rangle , & \\
 & \langle \eta (\lambda ),\, f\rangle =\lambda \, \ve (f),\quad \langle x,\, \eta (\lambda )\rangle =\ve (x)\, \lambda ,\quad \langle Sx,\, f\rangle =\langle x,\, Sf\rangle . & 
\end{eqnarray*}
Zde vyu\v{z}\'{\i}v\'ame toho, \v{z}e p\'arov\'an\'{\i} mezi \( \UU  \) a \( \AA  \) indukuje p\'arov\'an\'{\i}
mezi \( \UU \otimes \UU  \) a \( \AA \otimes \AA  \):
\[
\langle x\otimes y,\, f\otimes g\rangle =\langle x,\, f\rangle \, \langle y,\, g\rangle \, .\]



\subsubsection*{P\v{r}\'{\i}klad 3: algebra funkc\'{\i} na \protect\( SU(2)\protect \)}

Konstrukce Hopfovy algebry v tomto p\v{r}\'{\i}pad\v{e} je t\'em\v{e}\v{r} shodn\'a s p\v{r}\'{\i}kladem 1, pouze
\( SU(2) \) nen\'{\i} kone\v{c}n\'a grupa. Jedinou modifikac\'{\i} je, \v{z}e za \( \AA  \) nevol\'{\i}me
algebru funkc\'{\i} \( \Fun (SU(2)) \) a dokonce ani \( \Cinf (SU(2)) \), ale podalgebru
(\ref{AA}) generovanou prvky \( a \), \( b \), \( c \), \( d \). Kon\'asoben\'{\i}
\( \Delta  \) se shoduje se zobrazen\'{\i}m \( m^{\ast } \) (\ref{mastgen}), kter\'e
je podle (\ref{mast}) dob\v{r}e definovan\'e. Kojednotka a antipode jsou definov\'any
obdobn\v{e} jako v p\v{r}\'{\i}kladu 1. Konkr\'etn\v{e} dost\'av\'ame
\begin{equation}
\label{eps}
\ve (a)=\ve (d)=1,\quad \ve (b)=\ve (c)=0
\end{equation}
a
\[
Sa=d,\, Sb=-c,\, Sc=-b,\, Sd=a\, .\]
Zd\r{u}razn\v{e}me, \v{z}e podle (\ref{ast}) je na \( \AA  \) nav\'{\i}c definovan\'a involuce
(kterou jsme ostatn\v{e} mohli zav\'est i v p\v{r}\'{\i}kladu 1 pomoc\'{\i} vztahu (\ref{invol})).


\subsubsection*{P\v{r}\'{\i}klad 4: univerz\'aln\'{\i} obaluj\'{\i}c\'{\i} algebra}

Libovoln\'emu vektorov\'emu prostoru \( V \) nad \( \k  \) m\r{u}\v{z}eme p\v{r}i\v{r}adit tenzorovou
algebru \( TV \),
\[
TV=\k \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \dots \, .\]
N\'asoben\'{\i}m je tenzorov\'y sou\v{c}in \( \otimes  \).

Bu\v{d} \( \g  \) Lieova algebra. Univerz\'aln\'{\i} obaluj\'{\i}c\'{\i} algebra je \( \UU (\g )=T\g /\II  \),
kde \( \II  \) je dvoustrann\'y ide\'al generovan\'y prvky
\[
x\otimes y-y\otimes x-[x,\, y],\quad x,y\in \g\, .
\]
Po faktorizaci budeme op\v{e}t zna\v{c}it n\'asoben\'{\i}, jak je zvykem, te\v{c}kou ``\( \cdot  \)''
(a i ta se vynech\'av\'a). 

\( \UU (\g ) \) je nekone\v{c}norozm\v{e}rn\'a asociativn\'{\i} algebra. Podrobn\v{e}j\v{s}\'{\i} informaci
d\'av\'a PBW (Poincar\'e-Birkhoff-Witt) v\v{e}ta: \emph{je-li \( \{x_{1,}x_{2},\dots ,x_{N}\} \)
libovoln\'a pevn\v{e} zvolen\'a b\'aze v \( \g  \), pak prvky
\[
x_{1}^{\, n_{1}}\, x_{2}^{\, n_{2}}\dots x_{N}^{\, n_{N}},\quad n_{1,}n_{2},\dots ,n_{N}\in \Z _{+}\, ,\]
tvo\v{r}\'{\i} (algebraickou) b\'azi v \( \UU (\g ) \).}

D\r{u}sledkem PBW v\v{e}ty je, \v{z}e \( \g  \) je vno\v{r}ena do \( \UU (\g ) \) jako vektorov\'y
prostor a samoz\v{r}ejm\v{e} \( \g  \) generuje \( \UU (\g ) \).

\( \UU (\g ) \) se st\'av\'a Hopfovou algebrou, jestli\v{z}e definujeme kon\'asoben\'{\i},
kojednotku a antipode n\'asledovn\v{e} (sta\v{c}\'{\i} p\v{r}edepsat hodnoty na gener\'atorech):
\[
\Delta x=x\otimes 1+1\otimes x,\, \ve (x)=0,\, Sx=-x,\quad x\in \g \, .\]



\section{Kvantov\'e grupy}

Kvantovou grupu m\r{u}\v{z}eme ch\'apat jako kvantov\'an\'{\i} Poissonovy grupy. Kvantov\'an\'{\i} budeme
poj\'{\i}mat o n\v{e}co abstraktn\v{e}ji ne\v{z} dosud a funkc\'{\i}m na poissonovsk\'e variet\v{e} nebudeme
p\v{r}\'{\i}mo p\v{r}i\v{r}azovat oper\'atory, ale cel\'e algeb\v{r}e funkc\'{\i} p\v{r}i\v{r}ad\'{\i}me novou (kvantovanou)
algebru, kter\'a bude obecn\v{e} nekomutativn\'{\i}. K oper\'ator\r{u}m se p\v{r}ech\'az\'{\i} pomoc\'{\i} reprezentac\'{\i}
kvantovan\'e algebry. 

P\v{r}edpokl\'adejme, \v{z}e \( G \) je Poissonova grupa a \( \AA  \) je algebra funkc\'{\i}
na \( G \) s (kone\v{c}nou) mno\v{z}inou gener\'ator\r{u} \( \{f,g,\dots \} \). D\'ale p\v{r}edpokl\'ad\'ame,
\v{z}e \( \AA  \) je nekone\v{c}norozm\v{e}rn\'a Lieova algebra vzhledem k Poissonov\v{e} z\'avorce
na \( G \) a Hopfova algebra s kon\'asoben\'{\i}m \( \Delta =m^{\ast } \) (\( m:G\times G\rightarrow G \)
st\'ale zna\v{c}\'{\i} grupov\'e n\'asoben\'{\i}). P\v{r}\'{\i}kladem je \( G=SU(2) \) s algebrou \( \AA  \)
(\ref{AA}). 

Kvantov\'a algebra \( \AA _{h} \) bude deformac\'{\i} algebry \( \AA  \) z\'avisej\'{\i}c\'{\i}
na parametru deformace \( h \). \( \AA _{h} \) bude m\'{\i}t stejnou mno\v{z}inu gener\'ator\r{u}
jako \( \AA  \), ale pro odli\v{s}en\'{\i} je do\v{c}asn\v{e} ozna\v{c}\'{\i}me st\v{r}\'{\i}\v{s}kou: \( \{\widehat{f},\widehat{g},\dots \} \).
V limit\v{e} \( h\to 0 \) mus\'{\i} \( \AA _{h} \) p\v{r}ej\'{\i}t v komutativn\'{\i} algebru \( \AA =\AA _{0} \).
Algebra \( \AA _{h} \) by m\v{e}la spl\v{n}ovat n\v{e}kter\'e dal\v{s}\'{\i} ``p\v{r}irozen\'e'' (a do
ur\v{c}it\'e m\'{\i}ry heuristick\'e) po\v{z}adavky. Zd\r{u}razn\v{e}me n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} dva:

\begin{itemize}
\item Poissonovskou strukturu lze z\'{\i}skat z \( \AA _{h} \) v ``semiklasick\'e'' limit\v{e}
\( h\to 0 \) (jestli\v{z}e po\v{c}\'{\i}t\'ame do prvn\'{\i}ho \v{r}\'adu v parametru \( h \)). P\v{r}esn\v{e}ji,
po\v{z}adujeme, aby gener\'atory spl\v{n}ovaly vztah
\[
\widehat{f}\widehat{g}-\widehat{g}\widehat{f}=\im h\, \widehat{\{f,\, g\}}+O(h^{2})\, .\]
Pozn\'amka: v\'ysledek Poissonovy z\'avorky \( \{f,\, g\} \) m\r{u}\v{z}eme op\v{e}t vyj\'ad\v{r}it
pomoc\'{\i} gener\'ator\r{u} (jako polynomi\'aln\'{\i} v\'yraz) a pot\'e mu p\v{r}i\v{r}ad\'{\i}me prvek algebry
\( \AA _{h} \), co\v{z} je nazna\v{c}eno st\v{r}\'{\i}\v{s}kou. \( \AA _{h} \) je sice nekomutativn\'{\i},
ale ve skute\v{c}nosti zde u\v{z} na po\v{r}ad\'{\i} nez\'ale\v{z}\'{\i}, nebo\v{t} po\v{c}\'{\i}t\'ame do prvn\'{\i}ho \v{r}\'adu
\( h \) a p\v{r}ed Poissonovou z\'avorkou ji\v{z} stoj\'{\i} \( h \). 
\item \( \AA _{h} \) mus\'{\i} b\'yt Hopfovou algebrou. 
\end{itemize}
\par Jako p\v{r}\'{\i}klad pop\'{\i}\v{s}eme nejjednodu\v{s}\v{s}\'{\i} netrivi\'aln\'{\i} kvantovou grupu \( SU_{q}(2) \),
kter\'a je kvantov\'an\'{\i}m Poissonovy grupy \( SU(2) \) z kapitoly \ref{PoissGr}.
Krom\v{e} toho zavedeme \( q \)-deformaci univerz\'aln\'{\i} obaluj\'{\i}c\'{\i} algebry \( \UU (\su (2)) \),
kterou jsme rozebrali v p\v{r}\'{\i}kladu 4 v kapitole \ref{HopfAlg}. Lze uk\'azat, \v{z}e
Hopfova algebra \( \UU _{q}(\su (2)) \) je du\'aln\'{\i} k \( SU_{q}(2) \). 

Ve v\v{s}ech p\v{r}\'{\i}kladech je \( h \) re\'aln\'y parametr a pokl\'ad\'ame \( q=e^{-h} \).
Ve skute\v{c}nosti v\v{s}echny v\'yrazy budou explicitn\v{e} z\'aviset 
p\v{r}\'{\i}mo na parametru \( q \). 


\subsubsection*{P\v{r}\'{\i}klad 1: \protect\( SU_{q}(2)\protect \)}

Algebra \( \AA  \) funkc\'{\i} na kvantov\'e grup\v{e} \( SU_{q}(2) \) je generov\'ana
prvky \( a,\, b,\, c,\, d \), kter\'e spl\v{n}uj\'{\i} relace 
\begin{eqnarray*}
 & ab=qba,\, ac=qca,\, bc=cb,\,  & \\
 & ad-qbc=da-q^{-1}bc=1\, . & 
\end{eqnarray*}
Na \( \AA  \) je zavedena involuce vztahy
\[
a^{\ast }=d,\, b^{\ast }=-qc\]
(involuce je antihomomorfismus: \( (fg)^{\ast }=g^{\ast }f^{\ast } \)). Kon\'asoben\'{\i}
je form\'aln\v{e} stejn\'e jako v nedeformovan\'em p\v{r}\'{\i}pad\v{e} (viz. (\ref{mastgen}))\\
\begin{equation*}
\begin{split}
\Delta a = a\otimes a+b\otimes c,\quad \Delta b = a\otimes b+b\otimes d, \\
\Delta c = c\otimes a+d\otimes c,\quad \Delta b = c\otimes b+d\otimes d.
\end{split}
\end{equation*} Rovn\v{e}\v{z} kojednotka je form\'aln\v{e} stejn\'a jako v klasick\'em p\v{r}\'{\i}pad\v{e}
(\ref{eps}). Antipode je zaveden n\'asledovn\v{e}: 
\[
Sa=d,\, Sb=-q^{-1}b,\, Sc=-qc,\, Sd=a.\]
Pov\v{s}imn\v{e}te si, \v{z}e matice
\[
\left( \begin{array}{cc}
Sa & Sb\\
Sc & Sd
\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc}
d & -q^{-1}b\\
-qc & a
\end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc}
a^{\ast } & c^{\ast }\\
b^{\ast } & d^{\ast }
\end{array}\right) \]
je inverzn\'{\i} k matici
\[
\left( \begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right) \]
(pokud pou\v{z}\'{\i}v\'ame pravidla pro n\'asoben\'{\i} v algeb\v{r}e \( \AA  \)).


\subsubsection*{P\v{r}\'{\i}klad 2: \protect\( \UU _{q}(\su (2))\protect \)}

V\'yhodn\'e je pracovat s komplexifikovanou Lieovou algebrou -- p\v{r}ipou\v{s}t\'{\i}me komplexn\'{\i}
line\'arn\'{\i} kombinace jejich prvk\r{u}. Konkr\'etn\v{e} pokl\'ad\'ame (viz. (\ref{J}))
\begin{equation}
\label{complex}
E=-\im \, J_{1}-J_{2},\quad F=-\im \, J_{1}+J_{2},\quad H=-2\im \, J_{3}\, .
\end{equation}
Elementy \( E,\, F,\, H \) tvo\v{r}\'{\i} b\'azi (nad \( \C  \)) a spl\v{n}uj\'{\i} komuta\v{c}n\'{\i}
vztahy
\[
[E,\, F]=H,\quad [H,\, E]=2E,\quad [H,\, F]=-2F\, .\]
Komplexifikace Lieovy algebry \( \su (2) \) je izomorfn\'{\i} \( \sl (2,\, \C ) \)
(komplexn\'{\i} \( 2\times 2 \) matice s nulovou stopou). V \( \sl (2,\, \C ) \)
prvk\r{u}m \( E,\, F,\, H \) odpov\'{\i}daj\'{\i} matice
\[
E=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right) ,\quad F=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0\\
1 & 0
\end{array}\right) ,\quad H=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}\right) \, .\]


Komplexifikace univerz\'aln\'{\i} obaluj\'{\i}c\'{\i} algebry \( \UU (\su (2)) \) je izomorfn\'{\i}
\( \UU (\sl (2,\, \C )) \), re\'aln\'a struktura ale z\r{u}st\'av\'a zak\'odov\'ana v involuci
\[
E^{\ast }=F,\quad F^{\ast }=E,\quad H^{\ast }=H\, .\]


Deformovan\'a univerz\'aln\'{\i} obaluj\'{\i}c\'{\i} algebra \( \UU _{q}(\su (2)) \) je komplexn\'{\i}
Hopfova algebra s involuc\'{\i} se souborem gener\'ator\r{u} \( K,\, K^{-1},\, E,\, F \).
Pod \( K \) je t\v{r}eba si p\v{r}edstavit element \( q^{H/2}\equiv e^{-hH/2} \).
Algebra je ur\v{c}ena relacemi 
\begin{eqnarray*}
 & K\, K^{-1}=K^{-1}K=1,\quad KE=q\, EK,\quad KF=q^{-1}FK, & \\
 & [E,\, F]=\frac{1}{q-q^{-1}}(K^{2}-K^{-2}). & 
\end{eqnarray*}
Na gener\'atorech je p\v{r}edeps\'ano kon\'asoben\'{\i} 
\[
\Delta K=K\otimes K,\quad \Delta E=E\otimes K^{-1}+K\otimes E,\quad \Delta E=E\otimes K^{-1}+K\otimes E,\]
kojednotka
\[
\ve (K)=1,\quad \ve (E)=\ve (F)=0,\]
antipode
\[
SK=K^{-1},\quad SE=-q^{-1}E,\quad SF=-q\, F\, ,\]
a rovn\v{e}\v{z} involuce
\[
K^{\ast }=K,\quad E^{\ast }=F\, .\]



\section{P\v{r}\'{\i}klad: \protect\( q\protect \)-deformovan\'a metoda orbit pro \protect\( \su (2)\protect \)}

P\v{r}epi\v{s}me je\v{s}t\v{e} jednou v\'ysledek z kapitoly \ref{MetodaO}. Tentokr\'at vyj\'ad\v{r}\'{\i}me
v\v{s}echny vztahy pomoc\'{\i} b\'aze \( \{E,\, F,\, H\} \) v komplexifikaci algebry \( \su (2) \)
(viz. (\ref{complex})). Z (\ref{gammak}) zjist\'{\i}me, \v{z}e holomorfn\'{\i} \v{c}\'asti vektorov\'ych
pol\'{\i} pro tyto prvky jsou (zna\v{c}\'{\i}me \( \xi_{X}=\gamma_{\lambda_X} \))
\begin{equation}
\label{gammaEFH}
\xi_{E}=\frac{\partial }{\partial z},\quad 
\xi_{F}=-z^{2}\, \frac{\partial }{\partial z},\quad 
\xi_{H}=-2z\, \frac{\partial }{\partial z}\, .
\end{equation}
Algebra polynom\r{u} \( \C [z] \) se tak st\'av\'a lev\'ym \( \UU (\su (2)) \) modulem,
kdy\v{z} lev\'a akce gener\'ator\r{u} je z\v{r}ejm\v{e} n\'asleduj\'{\i}c\'{\i}: 
\[
\xi_{E}\cdot z^{k}=k\, z^{k-1},\quad 
\xi_{F}\cdot z^{k}=-k\, z^{k+1},\quad 
\xi_{H}\cdot z^{k}=-2k\, z^{k}\, .
\]
V\'ysledkem metody orbit je v podstat\v{e} modifikace t\'eto akce t\'{\i}m, \v{z}e k vektorov\'ym
pol\'{\i}m (\ref{gammaEFH}) p\v{r}i\v{c}\'{\i}t\'ame obecn\v{e} nenulov\'e \v{c}leny 0-t\'eho \v{r}\'adu. Ze vztah\r{u}
(\ref{vrJ}) odvod\'{\i}me, \v{z}e 
\[
\vr (E)=\frac{\partial }{\partial z},\quad \vr (F)=-z^{2}\, \frac{\partial }{\partial z}+n\, z,\quad \vr (H)=-2z\, \frac{\partial }{\partial z}+n\, z\, \]
a tedy 
\[
\vr (E)\cdot z^{k}=k\, z^{k-1},\quad \vr (F)\cdot z^{k}=(n-k)\, z^{k+1},\quad \vr (H)\cdot z^{k}=(n-2k)\, z^{k}\, .\]


Na z\'av\v{e}r uvedeme \( q \)-deformovanou akci algebry \( \UU _{q}(\su (2)) \)
na \( \C [z] \) bez toho, \v{z}e bychom jakkoliv rozeb\'{\i}rali zp\r{u}sob jej\'{\i}ho odvozen\'{\i}.
Nejprve zave\v{d}me symbol
\[
[c]=\frac{q^{c}-q^{-c}}{q-q^{-1}},\quad c\in \C \, .\]
P\r{u}vodn\'{\i} (nemodifikovan\'a) lev\'a akce \( \UU _{q}(\su (2)) \) na \( \C [z] \)
je p\v{r}edeps\'ana na gener\'atorech: 
\[
\xi(K^{\pm 1})\cdot z^{k}=q^{\mp k}\, z^{k},\quad 
\xi(E)\cdot z^{k}=[k]\, z^{k-1},\quad 
\xi(F)\cdot z^{k}=-[k]\, z^{k+1}.
\]
Modifikovan\'a akce op\v{e}t z\'avis\'{\i} na parametru \( n\in \Z _{+} \) a vypad\'a n\'asledovn\v{e}:
\[
\xi(K^{\pm 1})\cdot z^{k}=q^{\pm (\frac{n}{2}-k)}\, z^{k},\quad 
\xi(E)\cdot z^{k}=[k]\, z^{k-1},\quad 
\xi(F)\cdot z^{k}=[n-k]\, z^{k+1}.
\]



\section{Literatura}


\subsection*{Geometrick\'e kvantov\'an\'{\i}}

\begin{enumerate}
\item J.-M. Souriau: \emph{Structure des Systemes Dynamiques}, Dunod, Paris, 1970. 
\item J. Sniatycki: \emph{Geometric Quantization and Quantum Mechanics}, Springer-Verlag,
1980. 
\item D. J. Simms, N. M. J. Woodhous: \emph{Lectures on Geometric Quantization}, Lecture
Notes in Physics \textbf{53}, 1976. 
\item N. E. Hurt: \emph{Geometric Quantization in Action}, D. Reidel Publishing Company,
Dordrecht, 1983. 
\end{enumerate}

\subsection*{Metoda orbit}

\begin{enumerate}
\item B. Kostant: \emph{Quantization and unitary representations}, in \emph{Lectures
in Modern Analysis III}, C. T. Taam (ed.), Lecture Notes in Mathematics \textbf{170},
pp. 87-208,Springer-Verlag, Berlin, 1970.
\item A. A. Kirillov: \emph{Elementy Teorii Predstavlenij}, Nauka, 1978. anglick\'a
verze: \emph{Elements of the Theory of Representations}, Springer-Verlag, New
York, 1976.
\end{enumerate}

\subsection*{Poissonovy grupy}

\begin{enumerate}
\item J.-H. Lu, A. Weinstein: \emph{Poisson Lie groups, dressing transformations and
Bruhat decomposition}, J. Diff. Geom. \textbf{31} (1990), 501-26.
\end{enumerate}

\subsection*{Hopfovy algebry}

\begin{enumerate}
\item E. Abe: \emph{Hopf Algebras}, Cambridge University Press, Cambridge, 1977.
\end{enumerate}

\subsection*{Kvantov\'e grupy}

\begin{enumerate}
\item V. G. Drinfel'd: \emph{Quantum groups}, in \emph{Proceedings of the International
Congress of Mathematicians}, Berkeley, 1986, A. M. Gleason (ed.), pp. 798-820,
American Mathematical Society, Providence, RI. 
\item M. Jimbo: \emph{A q-difference analogue of U(\( \g  \)) and the Yang-Baxter
equation}\c{ } Lett. Math. Phys. \textbf{10} (1985), 63-9.
\item M. Jimbo: \emph{A q-analogue of U(gl(N+1)), Hecke algebra and the Yang-Baxter
equation}, Lett. Math. Phys. \textbf{11} (1986), 247-52. 
\item S. L. Woronowicz: \emph{Compact matrix pseudogroups}, Comm. Math. Phys. \textbf{111}
(1987) 613-65.
\item L. D. Faddeev, N. Reshetikhin, L. Takhtajan: \emph{Quantization of Lie groups
and Lie algebras}, in \emph{Algebraic analysis}, Vol. 1, M. Kashiwara and T.
Kawai (eds.), pp. 129-39, Academic Press, New York. 
\item V. Chari, A. Pressley: \emph{A Guide to Quantum Groups}, Cambridge University
Press, 1994. 
\end{enumerate}

\subsection*{Deformovan\'a metoda orbit}

\begin{enumerate}
\item P. \v{S}\v{t}ov\'{\i}\v{c}ek: \emph{A construction of representations and quantum homogenenous
spaces}, Lett. Math. Phys. \textbf{47} (1999) 125-138.
\end{enumerate}
\end{document}


